Clases Características de Haces de Superficies

Este documento se centra en los haces de superficies, una generalización natural de los haces vectoriales. Se explica que, al igual que en la teoría de haces vectoriales, las clases características de los haces de superficies juegan un papel crucial en la determinación de la complejidad de un haz de superficies dado.

Estos haces se describen como fibrados suaves con una fibra que es una superficie cerrada orientable. Las clases características, elementos de los grupos de cohomología del espacio clasificante del grupo de difeomorfismos de la superficie que preservan la orientación, se convierten en herramientas esenciales para clasificar estos haces.

El documento destaca que para superficies de género mayor o igual a dos, la cohomología del espacio clasificante coincide con la cohomología del grupo modular de la superficie. En este contexto, las clases de Mumford-Morita-Miller, exploradas en el trabajo de Madsen-Weiss [18], ofrecen una caracterización de la cohomología racional del grupo modular para géneros muy grandes. En el caso de género uno, la cohomología del grupo modular se relaciona con el espacio de formas automorfas a través del isomorfismo de Eichler-Shimura [12].

El objetivo principal del trabajo es abordar la definición y existencia de estas clases características de haces de superficies, proporcionando un marco para comprender la naturaleza y la clasificación de estos objetos matemáticos.

Este apartado se centra en la clasificación de los haces de superficies, tomando en cuenta la superficie utilizada como fibra. Se analizan tres casos principales: la esfera bidimensional (S²), el toro (T²) y una superficie de género mayor (Σg). Se explica que, debido a la complejidad del cálculo de los grupos de homotopía para una variedad general F, se centra el análisis en los casos donde la fibra es un toro o una superficie de género mayor.

Se introduce la definición formal de las clases características de los haces de superficies, donde se asocia una clase de cohomología a cada haz de superficies. La naturalidad de esta asociación garantiza que las clases características sean invariantes bajo transformaciones naturales de los haces. Se destaca que la existencia de clases características diferentes indica que los haces de superficies asociados no son isomorfos, proporcionando un método para distinguirlos.

Se explora la estructura de los haces de toros, donde la fibra es un toro bidimensional. Se calculan las dimensiones de los grupos de cohomología racional del espacio clasificante del grupo de difeomorfismos que preservan la orientación del toro, y se presenta un ejemplo de una clase característica no trivial de un haz de toros.

Se introduce la acción de la conjugación del grupo SL(2; Z) sobre el grupo de difeomorfismos del toro. Earle y Eells [10] demostraron que la inclusión del grupo de difeomorfismos en el espacio clasificante del grupo de difeomorfismos del toro es una equivalencia de homotopía. Este resultado permite calcular la cohomología del espacio clasificante, lo que a su vez proporciona información sobre las clases características de los haces de toros.

Este apartado se enfoca en las clases características de Mumford-Morita-Miller, que se aplican a haces de superficies con género mayor que uno. Se utiliza el homomorfismo de Gysin, una herramienta importante para estudiar haces de superficies y variedades generales, y se presenta una construcción explícita para obtener haces de superficies con clases características no triviales.

Se introducen los recubrimientos ramificados, una generalización de los recubrimientos de espacios, y se destaca la importancia de estos en la construcción de haces de superficies. Se utiliza el homomorfismo de Gysin para demostrar la no trivialidad de la primera clase característica e1 de un haz de superficies, y se presenta un método para construir haces de superficies con firmas no nulas. El documento concluye con la afirmación de que la primera clase característica e1 es no trivial, respaldando su afirmación con la construcción de un haz de superficies con firma no nula.