On the Langlands Program for Number Fields

Este trabajo explora el Programa de Langlands en el contexto de campos numéricos, un problema abierto fundamental en teoría de números. El documento explora conexiones con otros resultados bien establecidos, incluyendo la Ley de Reciprocidad de Artin y la Conjetura de Shimura-Taniyama. Además, presenta una posible aplicación para la factorización de polinomios irreducibles sobre campos finitos, ilustrada a través de ejemplos.

El documento destaca la estrecha relación del Programa de Langlands con las leyes de reciprocidad en teoría de números. El capítulo uno expone la relación entre el Programa de Langlands y la Ley de Reciprocidad de Artin, mostrando cómo esta conexión se establece mediante las funciones L. Se introduce el mapeo de Artin en el lenguaje de la Teoría de Campos de Clase, proporcionando un marco para comprender la interacción entre la estructura de Galois y las propiedades aritméticas de los campos numéricos.

El documento relaciona el Programa de Langlands con la Conjetura de Shimura-Taniyama, un resultado clave en la teoría de curvas elípticas y formas modulares. Se presenta la correspondencia entre curvas elípticas y formas modulares a través de las funciones L, y se muestra cómo la conjetura de Shimura-Taniyama puede verse como un caso especial del Programa de Langlands para n = 2. Esta conexión subraya la naturaleza general y profunda del Programa de Langlands, que tiene implicaciones para diferentes áreas de la teoría de números.

El documento explora el potencial del Programa de Langlands para abordar el problema de la factorización de polinomios sobre campos finitos. Se establece una relación entre la factorización de polinomios y la factorización de números primos en campos de descomposición. Se sugiere que la teoría de Galois, y en particular el grupo de Galois del campo de descomposición de un polinomio, contiene información crucial para clasificar números primos en relación a la factorización de polinomios. Esta conexión ofrece una vía para aplicar las ideas del Programa de Langlands a problemas concretos en la factorización de polinomios.