Spectral Power Series for Polynomial Bundles of Sturm-Liouville Operators, Zakharov-Shabat Systems and Applications

Este trabajo se centra en el análisis del Sistema de Zakharov-Shabat, un sistema fundamental en la solución de ecuaciones de evolución no lineales a través de la Transformada de Fourier No Lineal (también conocido como el método del problema inverso de dispersión). Se explora la reducción del sistema de Zakharov-Shabat con un potencial real a una ecuación clásica de Sturm-Liouville, un caso particular del sistema original con N=1. El documento destaca la importancia del Sistema de Zakharov-Shabat en diversas aplicaciones, incluyendo la ecuación no lineal de Schrödinger, que encuentra aplicaciones en fibras ópticas. Se profundiza en las representaciones y aproximaciones de las soluciones del sistema, utilizando métodos como el método de series de potencias del parámetro espectral y el método de la aproximación analítica de operadores de transmutación.

El documento presenta diferentes métodos para resolver el Sistema de Zakharov-Shabat, incluyendo el método de series de potencias del parámetro espectral (SPPS) y el método de la aproximación analítica de operadores de transmutación (AATO). Se describe la aplicación del SPPS clásico para obtener una representación en series de potencias de la solución del sistema de Zakharov-Shabat con un potencial real. El SPPS, según el documento, proporciona un método numérico eficiente para resolver problemas de valor inicial, valores en la frontera y espectrales. Además, se analiza el método AATO, que se basa en la aproximación de los núcleos de una representación integral de los operadores de transmutación, y permite obtener una aproximación de las soluciones de una ecuación de Sturm-Liouville. El documento también explora la construcción de los primeros coeficientes de Taylor de la solución, un método propuesto en [48] para mejorar la precisión de las aproximaciones.

El documento explora las aplicaciones y beneficios del Sistema de Zakharov-Shabat en la resolución de problemas espectrales. Se muestra cómo la forma conveniente de las representaciones de las soluciones del sistema permite construir una ecuación característica y determinar numéricamente las partes discreta y continua de la Transformada de Fourier No Lineal. La reducción del sistema a una ecuación de Sturm-Liouville, tanto con potenciales reales como complejos, simplifica el análisis y facilita la construcción de soluciones. Se destacan las ventajas de los métodos SPPS y AATO en la resolución de problemas espectrales, incluyendo la precisión numérica y la posibilidad de obtener soluciones exactas para casos específicos.

El documento presenta un análisis numérico del Sistema de Zakharov-Shabat, utilizando ejemplos concretos para evaluar la precisión y eficiencia de los métodos SPPS y AATO. Se comparan los resultados obtenidos con otros métodos existentes en la literatura, como el método de Newton-Raphson. Se analizan las ventajas y desventajas de cada método, incluyendo la estabilidad numérica, el coste computacional y la precisión de la aproximación. El documento también analiza el principio del argumento, una técnica para localizar eigenvalores y determinar su orden, utilizando la función característica aproximada obtenida a partir de los métodos numéricos. El documento demuestra que el método SPPS modificado es eficiente para resolver problemas de valores en la frontera y para aproximar el espectro continuo y discreto de la Transformada de Fourier No Lineal.