One Dimensional Diffusion Processes and Orthogonal Polynomials

Este documento explora la teoría general de procesos de difusión en una dimensión, que abarca como caso particular las soluciones de ecuaciones diferenciales estocásticas. La idea central de la teoría es construir explícitamente el generador del proceso de Markov empleando la función de escala y la medida de velocidad. Estos elementos juegan un papel fundamental en la caracterización y análisis de los procesos de difusión. El documento enfatiza la importancia de la propiedad de Markov, la cual se caracteriza por la pérdida de memoria, permitiendo realizar estimaciones del futuro del proceso basándose únicamente en su estado actual. En otras palabras, condicionado al estado presente del sistema, su futuro y pasado son independientes.

Como ejemplo del uso de los procesos de difusión, el documento presenta el modelo Brox, un proceso en un entorno aleatorio, que se deriva del estudio de la teoría de difusión.

Una parte esencial del documento radica en la construcción del generador infinitesimal de un proceso de difusión. Se demuestra que bajo ciertas condiciones sobre la función de escala y la medida de velocidad, el generador infinitesimal se puede expresar como un operador diferencial de segundo orden, también conocido como operador de Sturm-Liouville. Este operador, dado por la expresión Af(x) = µ(x)f'(x) + σ²(x)f''(x), tiene una estrecha relación con la teoría de polinomios ortogonales. Específicamente, si las funciones µ(x) y σ²(x) son polinomios de grado a lo sumo 1 y 2, respectivamente, entonces existen polinomios ortogonales que son autofunciones del operador, y el proceso asociado a este operador tiene una función de densidad de probabilidad que se puede expresar en términos de estos polinomios ortogonales.

El documento destaca la utilidad de la teoría de polinomios ortogonales en el estudio de algunos procesos de difusión. La conexión entre estos polinomios y los procesos de difusión permite obtener representaciones explícitas de la función de densidad de probabilidad, lo cual facilita el análisis y la simulación de estos procesos.

El documento dedica una sección a explorar los conceptos fundamentales de los polinomios ortogonales y sus aplicaciones en el contexto de los procesos de difusión. Se define la ortogonalidad de una secuencia de polinomios con respecto a una función de peso, y se presenta una serie de resultados importantes relacionados con la derivada de polinomios ortogonales y su relación con ecuaciones diferenciales. Una herramienta fundamental para trabajar con estos polinomios es la fórmula de Rodrigues, la cual proporciona una forma compacta de expresar las soluciones de las ecuaciones diferenciales que gobiernan los polinomios ortogonales.

El documento presenta ejemplos concretos de polinomios ortogonales, incluyendo los polinomios de Hermite, Laguerre y Jacobi, y cómo estos se relacionan con procesos de difusión específicos como el proceso de Ornstein-Uhlenbeck, el proceso de Cox-Ingersoll-Ross y el proceso de Jacobi. La relación entre los polinomios ortogonales y los procesos de difusión permite obtener una comprensión más profunda de la estructura matemática y la dinámica de estos procesos.

Como ilustración de la aplicación práctica de la teoría de procesos de difusión, el documento presenta el proceso de Brox. Este proceso es un ejemplo de un proceso de difusión en un entorno aleatorio, donde la varianza del proceso depende de un movimiento browniano, conocido como ruido blanco. El proceso de Brox se describe mediante una ecuación diferencial estocástica que incorpora un término de ruido blanco. El documento analiza la construcción del proceso de Brox a partir de la función de escala y la medida de velocidad, y demuestra que el proceso se puede reconstruir a partir de estas dos cantidades utilizando un resultado de Itˆo y McKean.

El análisis del proceso de Brox resalta la riqueza y la versatilidad de la teoría de procesos de difusión, permitiendo modelar fenómenos con una complejidad mayor, donde la variabilidad aleatoria del entorno juega un papel fundamental. El documento ofrece una introducción a la teoría de procesos de difusión en una dimensión, proporcionando un marco sólido para comprender la dinámica de fenómenos aleatorios en un rango amplio de aplicaciones.