Standard Model Physics from an Algebra

Esta tesis explora la posibilidad de describir la física del modelo estándar utilizando estructuras algebraicas. Se basa en la premisa de que las representaciones de Lorentz del modelo estándar pueden derivarse de ideales generalizados obtenidos a partir de la parte C ⊗ H del álgebra. Además, se demuestra que los ideales mínimos izquierdos de la parte C ⊗ O del álgebra reflejan el comportamiento de una generación de quarks y leptones bajo las simetrías su(3) c y u(1) em. Estas simetrías, que permanecen inalteradas, surgen como simetrías de los operadores de escalera del álgebra. La tesis argumenta que la carga eléctrica se puede interpretar simplemente como un operador de número para el sistema. La tesis se presenta como un experimento para determinar cuán cerca se puede llegar a las predicciones del modelo estándar utilizando un mínimo de insumos teóricos. Aunque el proyecto no está terminado, demuestra cómo ciertos objetos matemáticos cuidadosamente seleccionados de baja dimensionalidad pueden replicar una parte considerable de la estructura del modelo estándar.

La tesis propone una interpretación poco ortodoxa para los conjuntos causales, sugiriendo que estos no representan un espacio-tiempo discreto, sino que representan las líneas de mundo de las partículas. Esta idea implica que la materia exhibe su propia estructura causal y no existe un punto espacio-temporal fundamental. Las partículas no están sujetas a ningún espacio-tiempo subyacente, ya sea continuo o discreto. Esta perspectiva se basa en la observación de que la causalidad podría surgir a nivel algebraico. La tesis se enmarca en un contexto más amplio donde varios autores han cuestionado la necesidad de un espacio-tiempo fundamental. Se mencionan varios modelos que exploran alternativas como la sustitución de regiones localizadas del espacio por subsistemas cuánticos (Piazza, Costa, 2005, 2007), la construcción del espacio-tiempo con entrelazamiento cuántico (Van Raamsdonk, 2010), y la construcción de modelos de gravedad simplicial a partir de espinores (Wieland, Edwards, 2014).

La tesis introduce el concepto de ideales generalizados, que se definen como subálgebras de un álgebra que permanecen invariantes bajo la multiplicación por cualquier elemento del álgebra. Se muestra que estos ideales generalizados, obtenidos a partir de la parte C ⊗ H del álgebra (los cuaterniones complejos), conducen a los espinores de Weyl diestros e izquierdos. Se destaca que esta formalización algebraica ofrece una manera compacta de describir todas las representaciones de Lorentz del modelo estándar. Se enfatiza la naturalidad del formalismo algebraico en la conjugación de espinores de Weyl, en contraste con el formalismo tradicional de matrices y vectores columna.

La tesis aborda la descripción de las simetrías internas del modelo estándar, como el color, el isospín débil y la carga, mediante el álgebra de los octoniones complejos (C ⊗ O). Se demuestra que la estructura algebraica de los octoniones refleja la estructura de una generación de quarks y leptones. Se utilizan operadores de escalera para generar un espacio de Fock donde el neutrino funciona como el estado vacío y los electrones y quarks como estados excitados. Se destaca la simetría inherente a los operadores de escalera anticonmutativos, que se corresponde con las simetrías su(3) c y u(1) em, las dos simetrías inalteradas del modelo estándar.