Vortices and Vermas in 3d N = 4 Gauge Theories

Este artículo explora el papel de los operadores monopólicos en las teorías de gauge tridimensionales con supersimetría N=4, particularmente en presencia de un fondo Ω. Estos operadores monopólicos tienen la capacidad de crear y destruir vórtices, partículas que portan flujo magnético. El estudio se centra en cómo estos operadores generan un álgebra no conmutativa que cuantifica el anillo quiral de la rama de Coulomb, un espacio en el que las partículas se vuelven libres. La investigación se centra en la acción de los operadores monopólicos en un espacio de Hilbert, que se realiza concretamente como la cohomología equivariante de un espacio de módulos de vórtices. El objetivo es proporcionar una nueva construcción del anillo quiral de la rama de Coulomb a partir de su acción sobre los vórtices.

El fondo Ω es una deformación que introduce una rotación en el plano z de las teorías de gauge tridimensionales. Esta deformación es esencial para el estudio de los operadores monopólicos y su acción sobre los vórtices. Se puede interpretar como una deformación de la torsión de Rozansky-Witten, que a su vez se puede considerar como una deformación de masas retorcidas en una mecánica cuántica N=4 unidimensional. El fondo Ω cuantifica la rama de Coulomb y juega un papel importante en la construcción de una versión 'finita' de la correspondencia AGT. La correspondencia AGT establece una conexión entre las teorías de gauge en el espacio de seis dimensiones y las teorías conformes en el espacio de dos dimensiones. La versión 'finita' de esta correspondencia surge al considerar la teoría de gauge tridimensional en presencia de un fondo Ω. En este contexto, las funciones de partición de vórtices, que describen la dinámica de los vórtices en la teoría, se interpretan como superposiciones de vectores de tipo Whittaker en un espacio de Hilbert. Estos vectores, a su vez, se encuentran relacionados con los bloques conformes de álgebras de W.

El espacio de Hilbert de una teoría de gauge tridimensional en presencia de un fondo Ω se identifica con la cohomología equivariante del espacio de módulos de vórtices. Este espacio es no compacto, pero la introducción de masas complejas y el parámetro de deformación del fondo Ω hacen que la teoría sea completamente masiva. Esto permite la identificación de los puntos fijos de la simetría en el espacio de módulos, que a su vez corresponden a los estados de vacío de la teoría. La cohomología equivariante se calcula entonces con respecto a la acción de un toro de simetría de sabor y un toro gauge. Los puntos fijos del espacio de módulos se identifican con las configuraciones de vórtices y su cohomología define los estados en el espacio de Hilbert. La construcción de estos estados es una de las principales contribuciones del artículo.

Los operadores monopólicos, que crean y destruyen vórtices, juegan un papel central en el artículo. Se demuestra que estos operadores actúan sobre el espacio de Hilbert, generando una estructura algebraica que cuantifica el anillo quiral de la rama de Coulomb. Esta acción se realiza mediante correspondencias entre espacios de módulos de vórtices, que se interpretan como interfaces en una descripción de mecánica cuántica de la teoría. El artículo proporciona una nueva construcción del álgebra de la rama de Coulomb, que se complementa con la construcción de Braverman-Finkelberg-Nakajima. En esta construcción, el espacio de Hilbert se interpreta como un módulo de Verma para el álgebra de la rama de Coulomb, y los operadores monopólicos se identifican con los generadores del álgebra. Se muestra que las funciones de partición de vórtices en el espacio de dos dimensiones surgen como superposiciones de vectores de tipo Whittaker, que son los estados de más alto peso en el módulo de Verma.