Números Reales y Complejos

El documento inicia definiendo el argumento de un número complejo. Se establece que para un número complejo z = a + bi, su argumento, representado como arg z, es el ángulo medido desde el semieje real positivo hasta el segmento que conecta el origen (0,0) con el punto que representa al número complejo en el plano cartesiano, es decir, el punto (a, b). Esta definición es fundamental para la representación gráfica y el entendimiento de los números complejos. La notación arg z se introduce como la forma estándar de representar este ángulo. La comprensión de arg z es crucial para diversas operaciones y aplicaciones de los números complejos en áreas como la ingeniería y la física. Es importante destacar que el argumento es un ángulo, y como tal, usualmente se expresa en radianes, aunque también puede expresarse en grados. La visualización de este ángulo en el plano complejo facilita la comprensión de las propiedades y relaciones entre diferentes números complejos.

Si bien la sección principal se centra en los números complejos, el texto comienza introduciendo conceptos de teoría de funciones que son relevantes para comprender el contexto matemático más amplio. Se define el dominio de una función f, denotado como dom f, como el conjunto de todos los valores reales x para los cuales f(x) es un número real. Se destaca que dos funciones con la misma fórmula pero diferentes dominios se consideran funciones distintas, enfatizando la importancia del dominio en la definición precisa de una función. El rango o imagen de una función se define como el conjunto de todos los valores y que son imágenes de algún x en el dominio de f. La notación estándar f: A → B se introduce, donde A representa el dominio y B representa el codominio. Adicionalmente, se aclara que si el dominio de una función no se especifica explícitamente, se asume que es el mayor subconjunto de números reales para el cual la función está definida. Estos conceptos, aunque introducidos antes de la discusión de los números complejos, proveen el marco matemático necesario para posteriores desarrollos y aplicaciones, especialmente al considerar la representación gráfica de las funciones y sus propiedades.

El texto inicia con una definición formal de función: una función f de un conjunto A a un conjunto B es una regla que asigna a cada elemento x de A (el dominio) exactamente un elemento f(x) en B (el codominio). Se introduce la notación f: A → B para representar esta asignación. La imagen de x bajo f, denotada como f(x), es el elemento único de B asignado a x. Se enfatiza la unicidad de la imagen para cada elemento del dominio, una condición esencial para que una relación sea considerada una función. La importancia de esta definición radica en su rigor matemático, estableciendo la base para el estudio de las propiedades y comportamientos de las funciones en el análisis matemático. Comprender esta definición es fundamental para el análisis posterior de diferentes tipos de funciones y sus aplicaciones en distintos campos.

Se define el dominio de una función f, denotado como dom f, como el conjunto de todos los valores de x para los cuales f(x) está definida y produce un valor real. El rango, también conocido como imagen, se define como el conjunto de todos los valores y en el codominio B para los cuales existe al menos un x en el dominio A tal que y = f(x). Se hace hincapié en que dos funciones con la misma fórmula pero con dominios distintos se consideran funciones diferentes, destacando la importancia del dominio en la caracterización de una función. Se aclara que cuando una función se expresa mediante una fórmula sin especificar su dominio, este se asume como el mayor subconjunto de los números reales para el cual la función está definida. Estos conceptos, dominio y rango, son herramientas fundamentales para el análisis y la comprensión del comportamiento de las funciones, incluyendo su representación gráfica.

La sección aborda la representación gráfica de una función. Se introduce la notación graf f = {(x, f(x)) ∈ R²: x ∈ dom f} para representar el conjunto de puntos que forman la gráfica de f en el plano cartesiano. Se establece que y = f(x) es la ecuación de la gráfica de la función. Se proporciona una condición necesaria y suficiente para que una curva en el plano sea la gráfica de una función: toda recta vertical (paralela al eje y) debe cortar la curva como máximo en un punto. Esta condición gráfica proporciona una forma intuitiva de identificar si una relación dada es una función o no. La capacidad de representar funciones gráficamente es esencial para visualizar su comportamiento, identificar sus propiedades (como la monotonía o la continuidad) y resolver problemas relacionados con funciones.

Se introduce el concepto de función uno a uno (inyectiva), donde cada elemento del rango corresponde a un único elemento del dominio. Si una función no es uno a uno, se puede restringir su dominio para obtener una nueva función que sí lo sea, manteniendo el rango original. Se enuncia la relación entre el dominio y el rango de una función y su inversa: el dominio de la función inversa f^-1 es el rango de f, y el rango de f^-1 es el dominio de f. Esta propiedad es fundamental para el cálculo de funciones inversas y para la comprensión de la relación entre una función y su inversa. Estas ideas son fundamentales para el estudio de las funciones inversas y su uso en la resolución de problemas matemáticos, especialmente en cálculo y ecuaciones.

Esta sección trata sobre las funciones exponenciales y sus inversas, las funciones logarítmicas. Se define una función exponencial general como y = b^x, donde b > 0 y b ≠ 1. Se indica que estas funciones son uno a uno (inyectivas), lo que implica que poseen una función inversa. La función inversa, f(y), debe satisfacer la condición y = b^f(y) y también f(b^x) = x. Esta sección establece la relación fundamental entre las funciones exponenciales y sus inversas logarítmicas, un concepto clave en el álgebra y el cálculo. La propiedad de ser uno a uno es crucial para la existencia de la función inversa, ya que garantiza la correspondencia biunívoca entre los elementos del dominio y el rango. La comprensión de esta relación es esencial para poder trabajar con estas funciones y resolver ecuaciones que las involucran.

La sección se centra en las funciones trigonométricas inversas. Se establece que ninguna función trigonométrica (seno, coseno, tangente, etc.) tiene una inversa en todo su dominio debido a su naturaleza periódica. Sin embargo, al restringir adecuadamente su dominio, se pueden definir sus funciones inversas. Se usa como ejemplo la función arcoseno, denotada como f(x) = arcsen x = sen^-1x, que es la inversa de la función seno (y = sen x) con un dominio restringido a [-π/2, π/2]. La restricción del dominio es necesaria para asegurar la unicidad de la inversa, ya que una función trigonométrica tiene múltiples valores para un mismo resultado. La correcta definición del dominio de las funciones trigonométricas inversas es fundamental para el cálculo y la aplicación de estas funciones en diferentes áreas, asegurando resultados precisos y evitando ambigüedades.

La sección define el límite de una función f(x) cuando x tiende a un valor a, denotado como lim_x→af(x) = L. Se explica que este límite existe y es igual a L si se pueden acercar los valores de f(x) a L tanto como se desee, tomando valores de x suficientemente cercanos a a, pero distintos de a. La definición es intuitiva pero rigurosa, enfatizando la idea de aproximación arbitrariamente cercana al valor L. Se introduce la notación lim_x→af(x) = L para representar este concepto fundamental del cálculo. La definición no requiere que f(x) esté definida en x = a, solo en un entorno de a. Este concepto de límite es fundamental para entender la continuidad y la derivabilidad de las funciones, y para el desarrollo del cálculo diferencial e integral.

Se definen los límites laterales, es decir, el límite de f(x) cuando x tiende a a por la izquierda (x < a) o por la derecha (x > a). Se indica que estos límites se denotan como lim_x→a^-f(x) y lim_x→a⁺f(x) respectivamente. Se explica que el límite de f(x) cuando x tiende a a existe si y solo si ambos límites laterales existen y son iguales. Además, se definen los límites infinitos, donde el valor de la función se aproxima a infinito positivo (+∞) o infinito negativo (-∞) cuando x se acerca a a. También se define el límite de f(x) cuando x tiende a infinito positivo o negativo. Estos conceptos extienden la idea de límite a situaciones donde la función puede tender a infinito o donde la variable independiente tiende a infinito. La comprensión de límites laterales e infinitos es crucial para analizar el comportamiento de funciones en puntos singulares o en el infinito.

El documento presenta las definiciones formales (ε-δ) de los límites. Para el límite en un punto, se dice que lim_x→af(x) = L si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si 0 < |x - a| < δ, entonces |f(x) - L| < ε. Se dan definiciones similares para los límites laterales y para los límites en el infinito. Estas definiciones precisan matemáticamente el concepto intuitivo de límite, proporcionando una herramienta para demostrar rigurosamente la existencia o no existencia de límites. La comprensión de estas definiciones formales es fundamental para un entendimiento profundo del cálculo y permite el desarrollo de teoremas y propiedades más avanzadas relacionadas con el comportamiento de las funciones. Estas definiciones constituyen la base rigurosa del análisis matemático.

El documento presenta el Teorema del Valor Intermedio, también conocido como Teorema de Bolzano. Este teorema establece que si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], y γ es un número cualquiera entre f(a) y f(b), entonces existe al menos un valor c en el intervalo abierto (a, b) tal que f(c) = γ. En esencia, el teorema garantiza que una función continua toma todos los valores intermedios entre los valores que alcanza en los extremos de un intervalo. La continuidad de la función es una condición esencial para la validez del teorema. Este teorema tiene importantes implicaciones en el análisis de funciones, proporcionando una herramienta fundamental para demostrar la existencia de soluciones a ciertas ecuaciones. Su importancia radica en su aplicabilidad en la demostración de otros teoremas y en la resolución de problemas de existencia de soluciones.

Se describe brevemente el método de bisección como un método numérico para aproximar las raíces de una ecuación. El método se basa en el Teorema del Valor Intermedio: si una función f(x) es continua en un intervalo [u_n, v_n] y cambia de signo en los extremos de este intervalo, entonces existe al menos una raíz en el interior del intervalo. El método consiste en biseccionar iterativamente el intervalo, evaluando la función en el punto medio y seleccionando el subintervalo donde persiste el cambio de signo. Este proceso se repite hasta alcanzar una aproximación de la raíz con la precisión deseada. La eficiencia del método radica en su simplicidad y en la garantía de convergencia si la función cumple las condiciones iniciales. Aunque simple, el método de bisección proporciona una aproximación numérica confiable de las raíces de una ecuación continua.

Se define un máximo local de una función f(x) en un punto c si f(x) ≤ f(c) para todo x en algún intervalo abierto que contiene a c. Análogamente, se define un mínimo local si f(x) ≥ f(c) en un entorno de c. Estos máximos y mínimos locales se denominan extremos locales. Por otro lado, un extremo absoluto (máximo o mínimo) de la función en un intervalo ocurre cuando el valor de la función en ese punto es mayor o menor, respectivamente, que el valor de la función en cualquier otro punto del intervalo. La distinción entre extremos locales y absolutos es crucial para la optimización de funciones. Encontrar estos extremos es un problema central en el cálculo y tiene aplicaciones en diversas áreas de la ciencia e ingeniería.

Se introduce el concepto de punto crítico, donde la derivada de la función es cero o no existe. El documento establece que los extremos locales de una función continua se alcanzan en puntos críticos. Se presenta el criterio de la primera derivada: si c es un punto crítico de una función continua f(x), y existe un δ > 0 tal que f'(x) > 0 para todo x ∈ (c - δ, c) y f'(x) < 0 para todo x ∈ (c, c + δ), entonces en c se alcanza un máximo local; el criterio es análogo para un mínimo local, invirtiendo las desigualdades de la derivada. Este criterio utiliza la información proporcionada por la primera derivada para determinar la naturaleza de los puntos críticos. El criterio de la primera derivada es una herramienta eficiente para identificar y clasificar los extremos locales de una función.

Se afirma que los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado [a, b] existen y solo se pueden alcanzar en los puntos críticos o en los extremos del intervalo. Se describe un procedimiento para encontrarlos: primero se hallan todos los puntos críticos en el intervalo abierto (a, b), luego se evalúa la función en estos puntos críticos y en los extremos del intervalo, a y b. Finalmente, el mayor de los valores es el máximo absoluto y el menor es el mínimo absoluto en el intervalo cerrado. Este procedimiento es una aplicación directa del Teorema de Weierstrass (mencionado anteriormente) que garantiza la existencia de estos extremos para funciones continuas en intervalos cerrados y acotados. Este procedimiento proporciona un método sistemático y eficiente para encontrar los extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado.

Se presenta el teorema de la Regla de L'Hôpital para el cálculo de límites indeterminados de la forma 0/0 o ∞/∞. El teorema establece que si f(x) y g(x) son funciones diferenciables en un intervalo abierto que contiene a a, excepto posiblemente en a mismo, y si g'(x) ≠ 0 en ese intervalo (excepto posiblemente en a), entonces si el límite de f(x)/g(x) cuando x tiende a a es de la forma indeterminada 0/0 o ∞/∞, el límite es igual al límite de f'(x)/g'(x), siempre que este último límite exista o sea infinito. La regla de L'Hôpital proporciona una herramienta poderosa para evaluar límites que de otra manera serían difíciles de calcular directamente. La condición de que la derivada del denominador sea no nula es esencial para la aplicación correcta del teorema. La regla puede aplicarse iterativamente si la forma indeterminada persiste al aplicar la regla a las derivadas.

Se describe la derivación implícita como una técnica para encontrar derivadas de funciones definidas implícitamente. Una función está definida implícitamente cuando la relación entre las variables x e y se expresa mediante una ecuación de la forma F(x, y) = 0. Para derivar implícitamente, se considera y como una función de x, y(x), y se deriva la ecuación con respecto a x, usando la regla de la cadena. Luego, se despeja dy/dx para obtener la derivada de la función implícita. Este método es especialmente útil cuando es difícil o imposible expresar y explícitamente en función de x. La derivación implícita se utiliza ampliamente en diferentes aplicaciones de cálculo, incluyendo la resolución de problemas de optimización y la determinación de razones de cambio.

La sección menciona la aplicación de la derivación implícita para encontrar razones de cambio relacionadas. Se describe un procedimiento de cuatro pasos para resolver este tipo de problemas: 1) identificar las variables que cambian con el tiempo, 2) establecer una relación entre las variables mediante una o más ecuaciones, 3) derivar implícitamente las ecuaciones con respecto al tiempo, y 4) usar las razones de cambio dadas para calcular las razones de cambio solicitadas, sustituyendo en las ecuaciones derivadas. Estos problemas involucran situaciones donde varias cantidades están relacionadas y cambian con el tiempo, requiriendo el uso de la derivación implícita para encontrar las tasas de cambio. La correcta aplicación de la derivación implícita y la regla de la cadena son cruciales para la resolución de problemas de razones de cambio relacionadas.

Esta sección describe cómo calcular el área bajo la gráfica de una función continua y no negativa, f(x), en un intervalo [a, b]. Se utiliza una aproximación mediante rectángulos. Se divide el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual longitud Δx = (b - a)/n. En cada subintervalo, se elige un punto de muestra x_k y se calcula el área del rectángulo con base Δx y altura f(x_k). La suma de las áreas de estos rectángulos aproxima el área total. Para obtener el área exacta, se toma el límite de esta suma cuando n tiende a infinito, lo que resulta en la integral definida de f(x) desde a hasta b. Se menciona que si f(x) es continua en [a, b], entonces es integrable en [a, b], asegurando la existencia del área. Este método proporciona una forma rigurosa de definir y calcular áreas de regiones planas delimitadas por funciones.

Se define el área de la región limitada por las gráficas de dos funciones integrables f(x) y g(x), y las rectas verticales x = a y x = b, donde f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b]. El área se calcula como la integral definida de la diferencia entre las dos funciones, es decir, ∫_a^b [f(x) - g(x)] dx. Este método extiende el concepto del cálculo de áreas a regiones más complejas delimitadas por dos funciones. La condición f(x) ≥ g(x) es esencial para asegurar que el área se calcula correctamente. La integral definida representa el límite de la suma de las áreas de pequeños rectángulos cuya altura es la diferencia entre los valores de las funciones en cada punto. Se requiere la integrabilidad de ambas funciones en el intervalo para que el área esté bien definida.

Se introduce el concepto de calcular el volumen de un sólido utilizando el área de sus secciones transversales. Si el sólido se encuentra entre x = a y x = b, y A(x) representa el área de la sección transversal en x, entonces el volumen se calcula como la integral ∫_a^bA(x)dx. Finalmente, se define la longitud de un arco de curva y = f(x) entre los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)), donde f(x) tiene derivada continua en [a, b]. La longitud del arco se expresa mediante la integral ∫_a^b √[1 + (*f'(x))²] dx. Se utiliza la notación L(f(t))(s), L(f(t)) o L(f) para representar indistintamente la longitud de arco, haciendo notar que esta integral puede ser impropia y por lo tanto puede converger o no según el valor de s.

Se introduce la notación para sucesiones: {a_n} o {a_n}_n=1^∞. Se define una sucesión convergente: una sucesión {a_n} converge a un número real L si se pueden aproximar los términos a_n a L tanto como se desee, tomando un n suficientemente grande. L se llama límite de la sucesión. Si una sucesión no converge, se dice que es divergente. Se define la divergencia a ∞ o -∞. Se define una sucesión acotada: una sucesión {a_n} es acotada si el conjunto de sus términos es un conjunto acotado. También se define una sucesión monótona (creciente o decreciente). Estos conceptos son fundamentales para el análisis del comportamiento de sucesiones y su convergencia. La convergencia o divergencia de una sucesión es una propiedad crucial que determina su comportamiento a largo plazo.

El texto menciona brevemente la convergencia de series. Se indica que para series alternadas, donde los términos cambian de signo, se debe verificar que el límite de los términos es cero y que la sucesión del valor absoluto de los términos es decreciente a partir de un cierto n₀ para asegurar la convergencia. Se sugiere el estudio de la convergencia absoluta para series con términos positivos y negativos. Si la serie converge absolutamente, entonces converge; pero si no converge absolutamente, no se puede concluir nada sobre su convergencia. Se mencionan los criterios de comparación con series geométricas o series p, y la aplicación del criterio del cociente, de la raíz o de la integral para determinar la convergencia. El texto presenta una breve guía para el análisis de la convergencia de series, incluyendo el caso de series alternadas y la importancia de la convergencia absoluta. Estos criterios son herramientas esenciales para determinar si una serie converge o diverge, un aspecto fundamental en el cálculo y en el análisis matemático.