Exámenes Matemáticas Sociales 2020

El problema presenta una situación en la que un vendedor de una librería de viejo recibe una comisión variable dependiendo del tipo de libro que vende. Se establece que cobra 1€ por cada cómic, 1.5€ por cada revista y 2€ por cada novela. Este esquema de comisiones es la base del problema planteado, que requiere comprender y aplicar los principios matemáticos para resolverlo. La información clave reside en las diferentes tarifas de comisión por cada tipo de libro, estableciendo una relación directa entre la cantidad vendida y el ingreso generado por comisiones.

Se proporciona información sobre las ventas realizadas por el vendedor en un día determinado. Se indica que vendió el doble de revistas que de novelas, estableciendo una relación directa entre estas dos variables (Revistas = 2 * Novelas). Además, se especifica que vendió 5 cómics menos que revistas (Comics = Revistas - 5). Estos datos son cruciales para formular las ecuaciones necesarias para resolver el problema. La comisión total obtenida ese día fue de 30€, lo cual constituye una restricción fundamental del problema y es vital para obtener la solución.

Para resolver el problema, se debe plantear un sistema de ecuaciones lineales que reflejen las relaciones entre las variables establecidas en el enunciado. Las variables son la cantidad de cómics, revistas y novelas vendidas. Una ecuación representará la relación entre las revistas y las novelas vendidas; otra, entre los cómics y las revistas, y finalmente, una tercera ecuación representará el ingreso total generado por las comisiones, que es igual a 30€. La resolución del sistema de ecuaciones, que puede realizarse mediante diferentes métodos, proporcionará el número de cómics, revistas y novelas vendidos por el librero.

Este problema, dentro del contexto de las matemáticas aplicadas a las ciencias sociales y el examen de acceso a la universidad, evalúa la capacidad del estudiante para traducir un problema de la vida real a un modelo matemático, formulando un sistema de ecuaciones lineales y resolviéndolo para obtener una solución. La correcta resolución del sistema de ecuaciones no solo requiere habilidades algebraicas, sino también una correcta interpretación del enunciado y la capacidad de establecer las relaciones entre las variables del problema. Este tipo de problema se considera fundamental para la comprensión y aplicación de conceptos matemáticos en situaciones cotidianas.

El problema se centra en el análisis de un modelo matemático que describe las ventas de un producto técnico de esquí. Este modelo está representado por una función de tercer grado: f(x) = 10x³ – 210x² + 1470x, donde 'x' representa el número de meses transcurridos desde el lanzamiento del producto (x ∈ [0, 12]). La función f(x) proporciona el número total de unidades vendidas durante el primer año. La comprensión de esta función y su comportamiento es fundamental para resolver el problema. La naturaleza cúbica de la función indica la posibilidad de puntos de inflexión y cambios en la tasa de crecimiento de las ventas a lo largo del año.

Una parte crucial del problema implica el análisis del crecimiento de las ventas durante el primer año. Se pide comprobar si la función es creciente en el intervalo [0, 12]. Esto requiere el análisis de la derivada de la función para determinar si es positiva en dicho intervalo. Además, se solicita encontrar el instante en el que el crecimiento ha sido más lento. Para ello, es necesario calcular la segunda derivada de la función, encontrar sus raíces (puntos críticos) y determinar cuál de ellos corresponde a un mínimo en la primera derivada, representando el menor ritmo de crecimiento de las ventas.

La resolución del problema requiere la aplicación de conceptos del cálculo diferencial. El análisis del crecimiento implica el cálculo de la primera derivada de la función, que representa la tasa de cambio instantánea de las ventas. La determinación del momento de crecimiento más lento exige el cálculo de la segunda derivada, que indica la concavidad de la función y la aceleración o desaceleración del crecimiento. Se utilizan herramientas de cálculo diferencial para identificar los puntos críticos de la función y determinar su comportamiento en el intervalo de tiempo considerado. La correcta interpretación de estas derivadas es esencial para responder correctamente a las preguntas planteadas.

Este problema, dentro del contexto de un examen de acceso a la universidad en matemáticas aplicadas a las ciencias sociales, evalúa la capacidad del estudiante para interpretar y analizar funciones matemáticas en un contexto real. Se busca comprobar la comprensión de conceptos de cálculo diferencial, como la derivada y la segunda derivada, y su aplicación para analizar el crecimiento y los puntos críticos de una función. El problema pone a prueba la capacidad del estudiante para modelar un fenómeno real utilizando herramientas matemáticas y extraer conclusiones relevantes del análisis realizado. La resolución correcta requiere un sólido dominio del cálculo diferencial y la habilidad para aplicar estos conocimientos a la resolución de problemas contextualizados.

El problema plantea la optimización del beneficio de un restaurante que ofrece un menú a un precio inicial de 18€. A este precio, el restaurante recibe 120 clientes. Se conoce el coste de elaboración de cada menú, que es de 8€. La relación entre el precio del menú y el número de clientes es lineal: por cada euro que aumenta el precio, el número de clientes disminuye en 4, y viceversa. Estos datos iniciales son cruciales para la construcción del modelo matemático que permitirá determinar el precio óptimo del menú para maximizar el beneficio. La linealidad de la relación precio-clientes simplifica el proceso de modelado matemático, aunque requiere una cuidadosa consideración de las implicaciones de esta simplificación.

Para resolver el problema, se debe construir un modelo matemático que relacione el precio del menú, el número de clientes y el beneficio. Se puede definir una función que exprese el número de clientes en función del precio del menú, utilizando la información de la relación lineal proporcionada. A partir de esta función, se puede determinar la función de beneficio, que será la diferencia entre el ingreso total (precio del menú multiplicado por el número de clientes) y el coste total (coste de elaboración por número de clientes). Esta función de beneficio será una función cuadrática, cuyo vértice representa el punto de máximo beneficio.

Una vez construida la función de beneficio, se debe encontrar su máximo. Dado que la función es cuadrática, su vértice representa el punto de máximo beneficio. El estudiante debe utilizar las técnicas apropiadas para encontrar las coordenadas del vértice de la parábola, que representarán el precio del menú que maximiza el beneficio y el valor de ese beneficio máximo. Encontrar el vértice de la parábola puede lograrse completando el cuadrado o utilizando la fórmula del vértice de una parábola. La interpretación correcta de las coordenadas del vértice es esencial para responder a la pregunta del problema.

Este problema, en el contexto de un examen de acceso a la universidad en matemáticas aplicadas a las ciencias sociales, evalúa la capacidad del estudiante para modelar una situación económica real utilizando funciones matemáticas y para optimizar una función cuadrática. Se busca comprobar la comprensión de conceptos de funciones lineales y cuadráticas, y la capacidad de aplicarlos para resolver problemas de optimización. El problema también evalúa la habilidad del estudiante para interpretar los resultados obtenidos en el contexto del problema original, determinando el precio óptimo del menú y el beneficio máximo asociado. La resolución correcta requiere un buen conocimiento de funciones y la capacidad de aplicar el razonamiento matemático para la toma de decisiones en un contexto empresarial.

El problema describe a un fabricante de muebles de jardín que produce sillas y mesas. Cada silla genera un beneficio de 20€ y cada mesa de 25€. Existen restricciones de producción: un máximo de 120 muebles en total por mes, un máximo de 100 sillas, un mínimo de 10 mesas, y una relación entre la producción de sillas y mesas donde el número de sillas debe ser igual o superior al triple del número de mesas (Sillas ≥ 3 * Mesas). Estos datos son esenciales para la formulación del problema de optimización. Se destaca la importancia del beneficio individual por cada producto y la existencia de restricciones que limitan la producción, creando un escenario de optimización bajo condiciones específicas.

El objetivo es determinar la producción mensual (número de sillas y mesas) que maximiza el beneficio total. Esto se traduce en un problema de programación lineal. La función objetivo a maximizar es el beneficio total, que se calcula como 20 veces el número de sillas más 25 veces el número de mesas. Las restricciones son las desigualdades que representan las limitaciones de producción mencionadas anteriormente. La formulación matemática del problema incluye la función objetivo y las restricciones, estableciendo un sistema de desigualdades lineales que definen la región factible de soluciones.

Para resolver este problema de programación lineal, se requiere un método que permita encontrar el punto óptimo dentro de la región factible definida por las restricciones. Aunque el texto no especifica el método a emplear, se puede utilizar el método gráfico para visualizar la región factible y determinar el punto que maximiza la función objetivo. Alternativamente, se podrían utilizar métodos analíticos como el método simplex, aunque estos métodos no son necesarios para la resolución del problema en esta etapa de resumen. El método elegido dependerá del enfoque que se considere más adecuado para este tipo de problemas matemáticos y del nivel de detalle requerido en la resolución.

Este problema, en el contexto de un examen de acceso a la universidad en matemáticas aplicadas a las ciencias sociales, evalúa la capacidad del estudiante para modelar y resolver un problema de optimización lineal. Demuestra la habilidad para traducir un enunciado verbal a un modelo matemático, incluyendo la definición de la función objetivo y las restricciones. La resolución del problema exige conocimientos de programación lineal y la capacidad de aplicar estos conocimientos para encontrar la solución óptima. Este tipo de problema es representativo de situaciones de toma de decisiones en contextos empresariales, destacando la importancia de la aplicación de las matemáticas en la resolución de problemas económicos.

El problema presenta una ecuación matricial que debe ser resuelta. La ecuación es de la forma A·X + B = I, donde A y B son matrices conocidas, X es la matriz incógnita que se debe determinar, e I es la matriz identidad de orden 2. La resolución de este tipo de ecuaciones requiere un conocimiento sólido de las operaciones matriciales y de las propiedades de las matrices. La matriz identidad juega un papel fundamental en la resolución, ya que representa un elemento neutro en la multiplicación matricial. La dificultad del problema reside en la manipulación algebraica necesaria para aislar la matriz X y encontrar su solución.

Para resolver la ecuación matricial A·X + B = I, se deben realizar una serie de operaciones matriciales. Primero, se debe aislar el término que contiene la matriz X restando B de ambos lados de la ecuación, obteniendo A·X = I - B. Luego, para obtener X, se debe multiplicar ambos lados de la ecuación por la inversa de la matriz A (A⁻¹), siempre que esta exista. La operación A⁻¹·A resulta en la matriz identidad, dejando únicamente X en un lado de la ecuación: X = A⁻¹·(I - B). Este proceso requiere la capacidad de calcular la inversa de una matriz y realizar multiplicaciones matriciales correctamente.

La resolución correcta de la ecuación matricial depende del conocimiento y la aplicación correcta de las propiedades de las matrices. La existencia de la inversa de la matriz A es fundamental, y su cálculo precisa de la comprensión del determinante y la adjunta de una matriz. Las multiplicaciones matriciales deben realizarse siguiendo las reglas específicas de este tipo de operación, teniendo en cuenta el orden de las matrices. Un error en cualquiera de estos pasos podría llevar a una solución incorrecta. Se destaca la importancia de dominar las operaciones y propiedades matriciales para abordar con éxito este tipo de problemas.

En el contexto de un examen de acceso a la universidad en matemáticas aplicadas a las ciencias sociales, este problema evalúa la comprensión y la destreza del estudiante en álgebra matricial. La resolución de la ecuación matricial pone a prueba la capacidad del estudiante para aplicar correctamente las operaciones matriciales, calcular la inversa de una matriz y manipular ecuaciones matriciales. El problema requiere un dominio teórico sólido y una capacidad de ejecución precisa. Su inclusión en el examen refleja la importancia del álgebra lineal en diversas aplicaciones, incluyendo modelos económicos y sociales.

El problema describe el beneficio de una empresa a lo largo del tiempo mediante una función no especificada en el enunciado, pero que depende de la variable 'x', que representa el número de años transcurridos desde el inicio de la empresa. El beneficio se expresa en millones de euros. Esta función, aunque no se conoce su expresión algebraica, es fundamental para resolver el problema. El enunciado solo indica que la función representa el beneficio, lo que implica que se debe obtener el máximo de dicha función para responder a las preguntas.

El objetivo principal del problema es encontrar el momento en el tiempo (número de años 'x') en que la empresa alcanza su beneficio máximo y cuál es el valor de ese beneficio máximo. Para lograrlo, el estudiante debe analizar la función de beneficio. Esto implica encontrar los puntos críticos de la función (máximos y mínimos) mediante el uso de las técnicas de cálculo diferencial. Una vez identificados los puntos críticos, se debe determinar cuál representa un máximo absoluto, indicando el instante en que se alcanza el beneficio máximo y su valor.

La resolución del problema requiere aplicar técnicas de cálculo diferencial, concretamente, el cálculo de la derivada de la función de beneficio. Igualando la derivada a cero, se pueden encontrar los puntos críticos de la función. Para determinar si estos puntos críticos corresponden a un máximo o un mínimo, se pueden utilizar la segunda derivada o analizar el comportamiento de la función alrededor de los puntos críticos. La correcta aplicación de estas técnicas es crucial para obtener la respuesta correcta al problema. El estudiante debe identificar si la función representa un polinomio o una función más compleja para elegir la técnica de derivación más eficiente.

Este problema, en el contexto de un examen de acceso a la universidad en matemáticas aplicadas a las ciencias sociales, evalúa la capacidad del estudiante para analizar funciones, encontrar máximos y mínimos y aplicar el cálculo diferencial a problemas de optimización en un contexto empresarial. Se busca comprobar la comprensión de conceptos como derivadas, puntos críticos y máximos/mínimos, y la habilidad para interpretar los resultados en un contexto real. La resolución correcta del problema requiere un sólido conocimiento del cálculo diferencial y una capacidad de aplicación eficiente de las herramientas matemáticas para la resolución de problemas.

El problema presenta una situación en la que un restaurante necesita realizar dos pedidos de tres productos diferentes (P1, P2, P3) a dos empresas distintas (E1 y E2). Se proporciona una tabla con los precios unitarios de cada producto para cada empresa. Las cantidades de cada producto necesarias para cada pedido (uno para esta semana y otro para la siguiente) también se especifican. El problema requiere comparar los costos totales de cada pedido para cada empresa y determinar cuál es la opción más económica en cada caso. La información clave reside en la tabla de precios y las cantidades requeridas para cada pedido, que serán la base para los cálculos subsiguientes.

Para resolver el problema, se debe calcular el costo total de cada pedido para cada empresa. Esto implica multiplicar la cantidad de cada producto necesitada por su precio unitario correspondiente en cada empresa y sumar los costos de los tres productos para obtener el costo total del pedido. Se deben realizar estos cálculos para ambos pedidos (esta semana y la próxima semana) y para las dos empresas (E1 y E2). Estos cálculos son elementales, pero requieren precisión y organización para evitar errores, especialmente al considerar las cantidades diferentes para cada producto en cada pedido.

Una vez calculados los costos totales de cada pedido para cada empresa, se debe comparar los costos obtenidos para cada pedido. Para cada pedido, se seleccionará la empresa que ofrece el costo total más bajo. Esto determinará a qué empresa el restaurante debe encargar cada pedido para minimizar su gasto. Finalmente, se debe reportar el costo total final para cada uno de los pedidos, especificando la empresa elegida en cada caso. Esta etapa del problema pone a prueba la capacidad de realizar una correcta comparación y de tomar una decisión óptima basada en criterios económicos.

Este problema, en el contexto de un examen de acceso a la universidad en matemáticas aplicadas a las ciencias sociales, evalúa la capacidad del estudiante para realizar cálculos aritméticos, analizar datos tabulares y tomar decisiones basadas en criterios de costo-beneficio. Se busca comprobar la habilidad del estudiante para interpretar la información proporcionada, realizar los cálculos necesarios con precisión y comunicar la solución de manera clara y concisa. La resolución correcta implica no solo la exactitud en los cálculos sino también la capacidad de organizar la información y presentar las conclusiones de forma lógica y comprensible.

El problema presenta un modelo matemático que predice la evolución de las ventas de un nuevo producto durante los próximos seis años. Este modelo se representa mediante una función cúbica: f(t) = t³ – 12t² + 36t, donde 't' representa el tiempo en años (t ∈ [0, 6]), y f(t) representa la cantidad de miles de unidades vendidas en el año 't'. Esta función cúbica permite predecir las ventas a lo largo del periodo considerado. La naturaleza cúbica de la función indica la posibilidad de puntos de inflexión, lo que sugiere cambios en la tendencia de las ventas a lo largo del tiempo.

El objetivo principal del problema es determinar en qué año se producirá el máximo número de ventas y cuántas unidades se habrán vendido ese año. Para ello, se debe analizar la función de ventas f(t) para encontrar su máximo absoluto en el intervalo [0, 6]. Esto requiere encontrar los puntos críticos de la función (máximos y mínimos) utilizando técnicas del cálculo diferencial. Una vez identificados los puntos críticos, se debe determinar cuál corresponde al máximo absoluto en el intervalo especificado. Este máximo representará el año con el mayor número de ventas.

Para encontrar el máximo de la función cúbica f(t), se debe utilizar el cálculo diferencial. El primer paso es calcular la primera derivada de f(t) y encontrar sus raíces (puntos críticos). Estas raíces representan los posibles máximos o mínimos de la función. Para determinar si un punto crítico es un máximo, se puede usar la segunda derivada o analizar el comportamiento de la función alrededor del punto crítico. Una vez identificado el año correspondiente al máximo, se sustituye el valor de 't' en la función original f(t) para determinar la cantidad de unidades vendidas en ese año.

Este problema, en el contexto de un examen de acceso a la universidad en matemáticas aplicadas a las ciencias sociales, evalúa la capacidad del estudiante para analizar funciones, identificar máximos y mínimos, y aplicar el cálculo diferencial para resolver un problema de optimización en un contexto de predicción de ventas. Se busca comprobar la comprensión de conceptos como derivadas, puntos críticos, máximos y mínimos, y la habilidad para interpretar los resultados en un contexto real, demostrando la capacidad de utilizar modelos matemáticos para la predicción y toma de decisiones empresariales.

El problema describe una fábrica de ropa deportiva que debe fabricar camisetas y mallas, teniendo limitaciones en el suministro de tres tipos de fibras: polipropileno, poliamida y elastano. Se especifican las cantidades disponibles de cada fibra (en km). Existen restricciones mínimas de producción (al menos 80 camisetas y 50 mallas). Se dan los porcentajes de cada fibra necesaria para la fabricación de cada prenda, así como el beneficio por cada camiseta (5€) y cada malla (3€). Estos datos son la base para plantear un problema de optimización, buscando maximizar el beneficio total sujeto a las restricciones de recursos y producción mínima.

El problema se formula como un problema de programación lineal. Se debe definir la función objetivo, que representa el beneficio total a maximizar, en función del número de camisetas y mallas producidas. Las restricciones se expresan como desigualdades lineales que representan las limitaciones en el suministro de cada tipo de fibra, así como las restricciones mínimas de producción. Estas restricciones definen la región factible de soluciones, donde se buscará el punto óptimo que maximiza el beneficio. La correcta formulación matemática es esencial para la resolución del problema.

Para resolver el problema de programación lineal, se puede utilizar un método gráfico, representando las restricciones en un plano cartesiano y encontrando la región factible. El punto óptimo que maximiza la función objetivo se encontrará en uno de los vértices de esta región factible. Se debe calcular el beneficio en cada vértice de la región factible para determinar cuál de ellos produce el máximo beneficio. La respuesta final debe incluir tanto el número de camisetas y mallas que se deben fabricar como el valor del beneficio máximo alcanzado. La correcta identificación de la región factible es crucial para la solución.

Este problema, en el contexto de un examen de acceso a la universidad en matemáticas aplicadas a las ciencias sociales, evalúa la comprensión y aplicación de la programación lineal. Se busca comprobar la habilidad del estudiante para traducir un problema de la vida real en un modelo matemático, incluyendo la función objetivo y las restricciones. La resolución del problema requiere un dominio de los métodos de resolución de problemas de programación lineal, ya sea gráfico o analítico, y la capacidad de interpretar los resultados en el contexto del enunciado. La correcta respuesta requiere no solo habilidades matemáticas sino también la capacidad de análisis y resolución de problemas en un contexto industrial.

El problema se centra en el análisis de una función polinómica de cuarto grado de la forma f(x) = ax⁴ + bx² + c. Se proporciona información sobre dos puntos críticos de la función: un máximo en el punto (2, 1) y un mínimo en el punto (0, -1). Estos datos son cruciales para determinar los valores de los parámetros a, b y c que definen la función. La función carece de término de grado impar, lo que implica simetría respecto al eje Y. La información sobre los puntos críticos es fundamental para establecer un sistema de ecuaciones que permita hallar los coeficientes de la función.

Para determinar los valores de los parámetros a, b y c, se debe utilizar la información sobre el máximo y el mínimo de la función. Sustituyendo las coordenadas de los puntos (2, 1) y (0, -1) en la ecuación de la función, se obtienen dos ecuaciones. Se necesita una tercera ecuación, que se obtiene calculando la derivada de la función, f'(x), e igualándola a cero en el punto x = 2 (máximo) o x = 0 (mínimo), obteniendo así una tercera ecuación. Resolviendo este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se encuentran los valores de a, b y c que definen la función polinómica.

Una vez determinados los valores de a, b y c, se debe analizar el crecimiento y decrecimiento de la función. Esto implica el estudio de la primera derivada, f'(x). Se deben encontrar las raíces de la derivada para identificar los intervalos donde la función es creciente (f'(x) > 0) y decreciente (f'(x) < 0). El análisis del signo de la derivada en diferentes intervalos proporciona la información sobre el crecimiento y decrecimiento de la función, lo que requiere la comprensión de la relación entre la derivada y el comportamiento de la función original.

En el contexto de un examen de acceso a la universidad en matemáticas aplicadas a las ciencias sociales, este problema evalúa la comprensión y aplicación del cálculo diferencial en el análisis de funciones polinómicas. Se busca comprobar la habilidad para determinar los parámetros de una función a partir de información sobre sus puntos críticos, así como la capacidad para analizar el crecimiento y decrecimiento de la función. Este tipo de problema requiere un buen entendimiento de las derivadas y su interpretación en relación con el comportamiento de la función. La resolución exitosa demuestra un dominio del cálculo diferencial y la capacidad de aplicar este conocimiento para resolver problemas matemáticos.

El problema describe una empresa de tecnología con 100 empleados distribuidos en tres secciones: administración, investigación y publicidad. Se conoce el salario mensual de cada empleado en cada sección: 2000€ en administración, 2400€ en investigación y 2800€ en publicidad. El gasto total mensual en salarios es de 228.000€. Esta información es crucial para establecer un sistema de ecuaciones que permita determinar el número de empleados en cada sección antes de una reestructuración. El total de empleados y el gasto total sirven como restricciones para el sistema de ecuaciones que se planteará.

La empresa ha sufrido una reestructuración que ha implicado despidos en las tres secciones. Este hecho ha generado un ahorro mensual en salarios de 33.200€. El problema consiste en determinar cuántos empleados había en cada sección antes de la reestructuración. Para resolverlo, se debe plantear un sistema de ecuaciones lineales. Una ecuación representará el número total de empleados (100), otra el gasto total antes de la reestructuración (228.000€), y una tercera ecuación reflejará el ahorro generado por los despidos (33.200€). La solución requerirá resolver este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

La resolución del sistema de ecuaciones permitirá obtener el número de empleados en cada sección antes de la reestructuración. Esto implica la manipulación algebraica de las ecuaciones para encontrar los valores de las tres incógnitas (número de empleados en administración, investigación y publicidad). Se puede utilizar el método de sustitución, eliminación o cualquier otro método adecuado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. La solución del sistema dará como resultado el número de empleados en cada sección antes de la reestructuración, respondiendo a la pregunta planteada en el problema.

Este problema, dentro del contexto de un examen de acceso a la universidad en matemáticas aplicadas a las ciencias sociales, evalúa la capacidad del estudiante para modelar una situación real mediante un sistema de ecuaciones lineales y resolverlo para obtener una solución. Se busca comprobar la habilidad del estudiante para traducir un enunciado verbal a un modelo matemático, aplicar técnicas de resolución de sistemas de ecuaciones y interpretar los resultados en el contexto del problema. El problema refleja la utilidad de las matemáticas en el análisis de datos empresariales y la toma de decisiones basadas en información cuantitativa.

El problema describe un curso subvencionado con un costo fijo de 9000€. A este costo fijo se le suma un costo variable que depende del número de alumnos matriculados, dado por la función 0.02x³ – 24x, donde 'x' representa el número de alumnos. El centro recibe una subvención de 5000€ del Consejo Comarcal y otra del Ayuntamiento de 30€ por cada alumno matriculado. El gasto final del centro es la diferencia entre el costo total del curso (fijo + variable) y las subvenciones recibidas. Estos datos son fundamentales para construir la función de costo a minimizar.

Para resolver el problema, se debe formular una función que represente el gasto total del centro en función del número de alumnos matriculados (x). Esta función se obtendrá restando las subvenciones del costo total del curso. El costo total es la suma del costo fijo (9000€) y el costo variable (0.02x³ – 24x). Las subvenciones son 5000€ (Consejo Comarcal) y 30x (Ayuntamiento). Por lo tanto, la función de gasto será una función polinómica de tercer grado, cuyo mínimo se debe determinar para encontrar el número óptimo de alumnos que minimiza el gasto del centro.

Para determinar el número de alumnos que minimiza el gasto del centro, se debe analizar la función de gasto. Esto implica encontrar los puntos críticos de la función utilizando las técnicas de cálculo diferencial. Se debe calcular la primera derivada de la función de gasto e igualarla a cero para encontrar los puntos críticos. Posteriormente, se debe determinar si estos puntos críticos representan mínimos o máximos de la función. Una vez identificado el mínimo, se encontrará el número de alumnos que minimiza el gasto y el valor de este gasto mínimo. La función de gasto es una función cúbica, por lo que se deben considerar las características de este tipo de funciones para la correcta resolución.

Este problema, en el contexto de un examen de acceso a la universidad en matemáticas aplicadas a las ciencias sociales, evalúa la capacidad del estudiante para modelar una situación real utilizando funciones matemáticas, analizar la función para determinar mínimos y aplicar el cálculo diferencial para resolver un problema de optimización. Se busca comprobar la comprensión de conceptos como derivadas, puntos críticos, mínimos y la habilidad para interpretar los resultados en un contexto práctico. La correcta resolución requiere destreza en el cálculo diferencial y la capacidad de aplicar este conocimiento para resolver problemas de optimización en un contexto económico-administrativo.