Áreas y Perímetros: 1º ESO

La sección inicia definiendo el perímetro de un polígono como la suma de las longitudes de todos sus lados. Se presenta un ejemplo sencillo: un polígono con lados de 2 cm, 3 cm, 2 cm y 3 cm, cuyo perímetro se calcula como 10 cm. Otro ejemplo muestra un polígono irregular con lados de 1.7 cm, 1.1 cm, 1 cm, 1.6 cm, 1.3 cm, 1.4 cm y 1.5 cm, resultando en un perímetro de 9.6 cm. Se corrige una errata de una edición anterior del libro relacionada con la representación gráfica de este último polígono, especificando las medidas correctas de sus lados para el cálculo del perímetro. Esta introducción establece la base fundamental para los cálculos de perímetro que se desarrollan a lo largo de la sección, enfatizando la suma directa de las longitudes de los lados como método principal para polígonos regulares e irregulares de lados conocidos. La claridad en la definición inicial es crucial para la comprensión de los ejemplos y problemas subsecuentes.

Se presenta un problema que requiere el uso del Teorema de Pitágoras para calcular el perímetro de un rectángulo. El problema proporciona la longitud de la diagonal (15 cm) y uno de los lados (7 cm). Para encontrar el perímetro, primero se debe determinar la longitud del otro lado usando el teorema. Los pasos se explican detalladamente: 15² = 7² + l², resolviendo para 'l' (el lado desconocido) se obtiene l = √176 ≈ 13.27 cm. Finalmente, el perímetro se calcula sumando las longitudes de los dos lados (13.27 cm + 13.27 cm + 7 cm + 7 cm = 40.54 cm). Este ejemplo destaca la aplicación de un teorema fundamental de la geometría (el Teorema de Pitágoras) en la resolución de problemas de perímetro cuando no se conocen todas las longitudes de los lados de una figura. La integración del teorema dentro del contexto del cálculo del perímetro expande el alcance del tema, demostrando su utilidad práctica en situaciones más complejas.

Se introduce una aplicación práctica del concepto de perímetro en un contexto real. Se describe la situación de Isabel, quien necesita cortar el césped de un campo de fútbol con dimensiones de 98 m x 73 m. Aunque el problema solicita el área del campo (metros cuadrados de césped), la sección se centra en el perímetro, mostrando indirectamente su aplicación práctica en situaciones de la vida real. Posteriormente, se presentan otros problemas que implican el cálculo de perímetros de diferentes polígonos. Un ejemplo se centra en el perímetro de diferentes polígonos en un plano de un campo de juego, donde se utilizan las medidas proporcionadas para calcular el perímetro del campo completo y de zonas específicas. Otro ejemplo se enfoca en un problema de un parque con dos areneros circulares con radios o diámetros dados, requiriendo el cálculo de los perímetros de ambos areneros. Se utilizan las fórmulas apropiadas para calcular el perímetro de un círculo utilizando el radio dado y se realiza el cálculo de las circunferencias. Estos problemas resaltan la aplicación del cálculo del perímetro a situaciones variadas, consolidando la comprensión del concepto y su utilidad en diferentes contextos.

Un problema se enfoca en la relación entre el perímetro de un rombo y la longitud de sus lados. La pregunta es: ¿Cuánto miden los lados de un rombo si su perímetro es de 20 cm?. La solución aprovecha la propiedad fundamental del rombo: todos sus lados tienen la misma longitud. Por lo tanto, la respuesta se obtiene dividiendo el perímetro total (20 cm) entre cuatro (el número de lados), lo que resulta en lados de 5 cm cada uno. Este problema refuerza la comprensión del concepto de perímetro, destacando la importancia de entender las propiedades geométricas de las figuras para poder realizar los cálculos correctamente. El uso de un rombo, una figura geométrica con características específicas, proporciona un ejemplo que se extiende más allá de los ejemplos rectangulares más simples, consolidando la comprensión del concepto de perímetro en diferentes figuras geométricas.

La sección inicia abordando el cálculo del área de figuras geométricas básicas. Se presentan ejemplos que involucran el cálculo del área de un cuadrado y un rectángulo. Para el cuadrado, se utiliza la fórmula del área (lado x lado), y se proporciona un ejemplo donde, si el lado mide 7 dm, el área resultante es de 49 dm². Para el caso del rectángulo, se menciona implícitamente el cálculo del área como base x altura, aunque no se muestra explícitamente en fórmulas. Esto establece una base para comprender conceptos más avanzados de cálculo de área. En un ejemplo, se pide el cálculo del área de una pantalla de ordenador cuadrada cuya diagonal mide 22 pulgadas (55.88 cm). Para resolver esto, se utiliza el Teorema de Pitágoras para calcular la longitud del lado y después calcular el área, obteniendo un resultado de 1561.04 cm². Se incluye el cálculo del área de una pizarra rectangular (1.50 m de alto por 2.20 m de largo) como ejemplo de la aplicación del concepto a objetos cotidianos. La sección presenta también un problema que involucra el cálculo del área de una terraza para determinar la cantidad de baldosas necesarias para cubrirla, vinculando el concepto del área con situaciones prácticas.

La sección continúa con el cálculo de áreas de triángulos, enfocándose en diferentes tipos. Aunque no se presentan las fórmulas explícitamente, se describe el cálculo de área como (base x altura)/2, mediante ejemplos prácticos. Se presenta un problema que implica un triángulo isósceles, con la corrección de un error en una edición previa del libro sobre su descripción, y se indica que un lado desigual mide 8 m y su altura 11 m. Se plantean ejercicios para hallar el área de zonas sombreadas en figuras formadas por cuadrados, donde el área se calcula como la suma o resta de áreas de figuras más simples. Se incluye un problema donde se solicita calcular la altura de un triángulo sabiendo que su área es el doble del área de un cuadrado cuya base es igual a la base del triángulo. Se muestra como se puede utilizar la descomposición de figuras complejas en figuras simples para calcular el área total, como en el caso de un hexágono irregular, que puede descomponerse en triángulos y otros polígonos. Estos problemas demuestran la aplicación del concepto del área en diferentes figuras y la importancia de utilizar métodos de descomposición para facilitar el cálculo del área total.

Se aborda el cálculo de área en figuras más complejas. Se incluye un ejemplo para hallar el área de un octógono regular, utilizando el Teorema de Pitágoras para calcular la apotema (altura) a partir de la longitud del lado (7 cm) y el radio (4 cm). Se destaca el concepto de descomposición de figuras complejas en figuras más sencillas para facilitar el cálculo del área. Se dan ejemplos de cómo calcular el área de figuras irregulares descomponiéndolas en cuadrados y triángulos. Se presenta el concepto de corona circular, la región entre dos círculos concéntricos, y se plantean problemas que exploran la relación entre el área de la corona circular y el área de los círculos mayor y menor, planteando escenarios donde el área de la corona es mayor, igual o menor que el área del círculo menor. Se utilizan problemas del tangram como ejemplo de descomposición de figuras para obtener el área total. En este ejercicio se muestra como se calcula el área de cada una de las piezas del tangram y el área total del tangram ensamblado. La sección finaliza enfatizando la versatilidad de los métodos de descomposición para calcular el área de figuras geométricas complejas.

La sección introduce el tangram como un juego ingenioso que permite crear multitud de figuras uniendo sus siete piezas, llamadas tans. Se describe brevemente la composición del tangram, mencionando que está formado por cinco triángulos (dos grandes, uno mediano y dos pequeños), un cuadrado y un paralelogramo (romboide). Se plantea un problema donde se pide identificar el tipo de polígono que representa cada pieza del tangram: triángulos rectángulos isósceles (naranja, azul claro, violeta, verde y amarillo), un romboide y un cuadrado. Se utiliza un ejemplo con un tangram cuyo lado del cuadrado completo mide 12 cm, para calcular el área de cada pieza (triángulos amarillo y verde: 9 cm² cada uno; cuadrado: 18 cm²; romboide: 18 cm²). Se introduce el concepto de que el área del tangram completo puede obtenerse sumando las áreas de todas sus piezas, preparando el terreno para el cálculo del área y el perímetro de figuras construidas con el tangram. La introducción establece los conceptos básicos y la nomenclatura necesaria para comprender los problemas posteriores.

Se presenta la resolución de problemas relacionados con el cálculo del área y perímetro de figuras construidas con las piezas del tangram. Se proporciona un ejemplo donde el lado del cuadrado completo mide 12 cm. Se calcula el área del cuadrado completo (144 cm²) y se determina el área de los triángulos naranja y azul claro (72 cm² cada uno), indicando que representan la mitad del área total del tangram. Se calcula también el área del triángulo violeta (18 cm²), explicando que representa la mitad del triángulo naranja. Se plantea el problema de construir una figura con las siete piezas del tangram y determinar su área y perímetro. Este ejercicio implica la suma de las áreas de las piezas individuales para obtener el área total de la figura construida y la medición de sus lados para calcular el perímetro. Se recalca la utilidad del tangram para entender la composición de figuras geométricas más complejas a partir de figuras simples, y cómo el cálculo del área total se simplifica mediante la descomposición de la figura en partes más manejables. Esta sección refuerza la práctica de calcular áreas y perímetros, mostrando su aplicación práctica en un juego que desarrolla el razonamiento espacial.

La sección enfatiza la estrategia de descomponer figuras complejas en polígonos más sencillos para facilitar el cálculo de su área. Se da el ejemplo de calcular el área de una figura utilizando una trama de cuadrados unitarios. Se proporciona un método donde la figura se descompone en figuras geométricas simples (triángulos, cuadrados, etc.), y se indica como calcular el área de cada parte y sumarlas para obtener el área total. Se plantea un problema donde se debe calcular el área de una figura irregular aproximándola a un polígono y descomponiéndola en figuras más simples para un cálculo estimativo. Se presenta otro ejemplo que describe como calcular el área de una mancha irregular sobre una camisa, donde se describe como obtener un cálculo aproximado del área de la mancha mediante la descomposición de la forma irregular en figuras geométricas más simples. Se destaca que este método de descomposición permite obtener aproximaciones precisas del área, incluso para figuras irregulares donde una fórmula directa no es aplicable. La aplicación práctica de la descomposición de figuras para facilitar el cálculo del área se refuerza con estos ejemplos, presentando soluciones alternativas para figuras más complejas.

Esta sección presenta una variedad de problemas que requieren el cálculo de áreas y perímetros en situaciones cotidianas. Se incluye un problema que implica calcular cuántas baldosas rectangulares (11.5 cm x 2 dm) se necesitan para cubrir una terraza de 2.53 m x 3 m. Para resolverlo, se convierte las unidades a una unidad común (metros), se calcula el área de la terraza y el área de cada baldosa, y finalmente se divide el área de la terraza entre el área de una baldosa para obtener la cantidad necesaria. Otro problema describe una situación donde Irene quiere construir una cometa con forma de rombo, usando varillas de 50 cm y 80 cm como diagonales. Se proporciona el área de tela disponible (1 m²) y se pide determinar si sobra o falta tela. Se calcula el área del rombo usando la fórmula (diagonal mayor x diagonal menor)/2 y se compara con el área de tela disponible. Estos problemas demuestran la aplicabilidad de los conceptos de área y perímetro en situaciones prácticas, requiriendo no solo el conocimiento de las fórmulas sino también la capacidad de convertir unidades y realizar cálculos correctamente. La variedad de formas y medidas involucrada en los problemas refuerza el aprendizaje y el dominio de las diferentes fórmulas y técnicas de cálculo.

Esta sección presenta problemas que requieren la aplicación del Teorema de Pitágoras para calcular longitudes de lados desconocidos antes de poder calcular áreas o perímetros. Se incluye un problema que solicita calcular el perímetro de un cuadrado sabiendo que su área es de 49 dm². Se calcula primero la longitud del lado del cuadrado mediante la raíz cuadrada del área, y luego el perímetro multiplicando por 4. Se presenta otro problema para calcular el perímetro y el área de un triángulo isósceles, donde se conoce la longitud de dos lados iguales (14 cm) y el lado desigual (8 cm). Para calcular el área, se utiliza el Teorema de Pitágoras para hallar la altura del triángulo, luego se calcula el área con la fórmula (base x altura)/2. Para calcular el perímetro se suman las longitudes de los tres lados. Se incluye también un ejemplo de un triángulo rectángulo donde se conocen las longitudes de los catetos y se debe aplicar el Teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa. Después se calcula el área y el perímetro de este triángulo. En todos estos problemas, el Teorema de Pitágoras es crucial para encontrar las medidas necesarias antes de poder aplicar las fórmulas de área o perímetro, destacando su importancia en la resolución de problemas geométricos más complejos.

Se presentan problemas que involucran figuras geométricas más complejas, donde el cálculo del área requiere técnicas de descomposición en figuras más simples. Se incluye un problema para hallar el área de una figura irregular dibujada en una trama de cuadrados unitarios. La solución implica dividir la figura en partes más sencillas (cuadrados y triángulos) para calcular el área de cada una y sumarlas para obtener el área total. Otro problema describe una situación donde se debe calcular el área de una mancha irregular de aceite en una camisa, para lo cual se propone un método de descomposición en polígonos para obtener una aproximación del área total. En este tipo de problemas, la aproximación al área se obtiene a través de la descomposición de la figura irregular en formas regulares (cuadrados, rectángulos, triángulos), calculando el área de cada una de estas figuras y sumándolas para obtener una aproximación del área total. Se enfatiza la importancia de la estrategia de descomposición para manejar figuras complejas que no se ajustan a formulas de cálculo de área directa. Estos problemas ponen a prueba la comprensión del concepto de área y la capacidad de aplicar diferentes estrategias para abordar problemas geométricos variados, destacando la flexibilidad de los métodos de resolución geométrica.

Finalmente, se presenta una sección de evaluación que contiene problemas que abarcan los diferentes conceptos aprendidos en la unidad. Se incluye un problema para hallar el perímetro de un cuadrado cuya diagonal se conoce, requiriendo la aplicación del Teorema de Pitágoras para determinar la longitud del lado antes de calcular el perímetro. Otro problema se centra en el cálculo del área de un trapecio isósceles, donde se conocen las longitudes de sus bases y lados iguales, necesitando la aplicación del Teorema de Pitágoras para obtener la altura antes de calcular el área. Estos problemas de evaluación final revisan los diferentes conceptos y técnicas aprendidas a lo largo de la unidad, consolidando la comprensión y aplicacion de las fórmulas y métodos de resolución de problemas de área y perímetro. La inclusión de problemas con diferentes niveles de dificultad demuestra la capacidad de resolver problemas que requieren la comprensión de conceptos geométricos fundamentales y la aplicación del Teorema de Pitágoras.